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In dieser Einheit lernen Sie

was eine Dichtefunktion ist,
was Ihnen die "Breite" sagt und
wie die Höhe zu interpretieren ist.

Als Ausgangspunkt der Diskussion wollen wir jedoch die sog. Wahrscheinlichkeitsfunktion nehmen. Dies deshalb, weil die Wahrscheinlichkeitsfunktion aus dem Alltag bereits geläufig ist und wir uns so ohne viel Beiwerk auf das für uns Wesentliche konzentrieren können. Die Erkenntnisse daraus lassen sich dann 1:1 auf die Dichtefunktion übertragen.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion

Stellen Sie sich vor, Sie werfen eine Münze 1, 2, oder 10x und zählen jeweils die Anzahl an Kopf-Würfen. Wie Sie vermutlich wissen, ist das Endergebnis - die Anzahl an Kopf-Würfen - zufällig, weshalb man auch sagt, dass das Endergebnis eine Zufallsvariable ist. Die Anzahl an Kopf-Würfen ist dabei abzählbar und Variable, auf die genau das zutrifft, werden diskret genannt.

Da es abzählbar viele Endergebnisse gibt, können Sie sich auch ausrechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, in z.B. 3 Münz-Würfen 0x, 1x, 2x oder 3x Kopf zu werfen und dieses Ergebnis graphisch veranschaulichen. Die Graphik, die Sie erhalten, wird Wahrscheinlichkeitsfunktion genannt.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion stellt damit für diskrete Zufallsvariablen graphisch dar, mit welcher Wahrscheinlichkeit bestimmte Ereignisse auftreten.

Beispiele dazu und wie sich die Wahrscheinlichkeitsfunktion "verhält" sollen konkrete Beispiele zeigen ...

Ausgangsfrage: Wenn Sie eine Münze 1x werfen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie 1x Kopf erhalten?

Die Antwort kennen Sie natürlich. Sie ist der Abbildung zu entnehmen und beträgt 50%.

Nächste Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, wenn Sie die Münze 2x werfen, dass Sie 2x Kopf erhalten?
Antwort: 25% - vgl. Abbildung.

Kürzen wir's ab:

Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, wenn Sie die Münze 20x oder 45x werfen, dass Sie 20x bzw. 45x Kopf erhalten?
Antwort: 0,0001% bzw. 0,000000000003% - in den nächsten beiden Abbildungen ist das Ergebnis ohne Kommastellen dargestellt.

Die Beispiele sollen zeigen, was von Beispiel zu Beispiel gleich bleibt und was sich ändert.

Was gleich bleibt:

Die Höhe eines Balken steht immer für eine Wahrscheinlichkeit.
Die Summe aller Balken entspricht immer 100%.
Wenn Sie mehrere nebeneinander liegende Balken addieren - also die Balken stapeln - erhalten Sie immer die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis in einem bestimmten Bereich.
Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 20 Würfen 12, 13, 14 oder 15x Kopf zu werfen.
Antwort: 12% + 7% + 4% +1% = 24% (exakt sind es 24,6%)

Was sich ändert:

Je öfter die Münze geworfen wird, desto kleiner wird die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Kopf-Würfen.
Warum? Weil mit steigender Anzahl an Würfen auch die Anzahl an möglichen Ergebnissen steigt. Damit sinkt aber gleichzeitg die Wahrscheinlichkeit für z.B. 5x Kopf. Beachten Sie diesbez. die unterschiedliche Skalierung der y-Achsen.

Der letzte Punkt stellt die Verbindung zur Dichtefunktion her. Weil wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für exakt 12.587x Kopf , wenn Sie theoretisch unendlich oft die Münze werfen? Null [1], weil es nun unendlich viele Ergebnisse gibt, ist die Wahrscheinlichkeit für exakt 12.587 Kopf-Würfe null. Die Balken werden praktisch zu Linien (ohne Fläche), weshalb die Höhe auch nicht mehr als Wahrscheinlichkeit, sondern als Dichte bezeichnet wird. Und aus unserer vormals diskreten Zufallsvariable wurde eine stetige.

     Fragen zur Überprüfung des Verständnisses
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für den Fall, dass die Münze 20x geworfen wird. Verwenden Sie obige Abbildung.

Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit genau 13x Kopf zu werfen? Antwort
Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit genau 7x Kopf zu werfen? Antwort
Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für 7 bis 13x Kopf (inkl. 7 und 13)? Antwort
Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für 7 bis 13x Kopf (exkl. 7 und 13)? Antwort
Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für maximal 13x Kopf (inkl. 13)? Antwort
Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 13x Kopf (inkl. 13)? Antwort
Frage: Welches Ergebnis ist das wahrscheinlichste? Antwort

Die Dichtefunktion

Der Unterschied zwischen einer Wahrscheinlichkeitsfunktion und einer Dichtefunktion ist also, dass der Graph der Dichtefunktion eine durchgezogene Linie ist und die Höhe keine Wahrscheinlichkeit angibt, sondern eine Dichte.

Die nachfolgende Abbildung zeigt die Dichtefunktion für das Gewicht eines fiktiven Objektes. Beachten Sie, dass die Achsenbezeichnung nun eine andere ist.

Dieser Verteilung können Sie entnehmen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, ein Gewicht zwischen z.B. 81kg und 83kg zu erhalten. (Beachten Sie die Parallele zur Fragestellung im obigen Abschnitt, als nach der Wahrscheinlichkeit bei 20 Würfen für 12, 13, 14 oder 15x Kopf gefragt wurde).

     Fragen zur Überprüfung der Verständnisses
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. Verwenden Sie dazu nachfolgende Abbildung.

Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein Gewicht zwischen 77 und 80kg zu beobachten (inkl. 77 und 80kg)? Antwort
Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein Gewicht von maximal 83kg zu beobachten (inkl. 83kg)? Antwort
Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein Gewicht von maximal 83kg zu beobachten (exkl. 83kg)? Antwort
Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein Gewicht von minimal 83kg zu beobachten (inkl. 83kg)? Antwort

[1] Exakt wäre es zu sagen, die Wahrscheinlichkeit geht gegen Null.
Antworten zur Wahrscheinlichkeitsfunktion Die Antworten in der Reihenfolge der Fragen sind: 7%; 7%; 88%; 74%; 95%; 12%; 10x Kopf.
Antworten zur Dichtefunktion Die Antworten in der Reihenfolge der Fragen sind: 34,1%; 84,1%; 84,1%; 15,9%

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